L'étymologie du mot "parabole"
vient du grec : "parabolê" où "para" veut dire "à
côté" et "ballein" signifie "lancer". Cette
étymologie traduit bien le fait que la parabole correspond
à la trajectoire d'un projectile lancé et retombant sur
la Terre.
La fonction mathématique associée à la parabole
se nomme trinôme du second degré, de la forme y =
ax2 + bx + c
La parabole a de multiples utilisations dans notre
société, mais avant de les étudier, regardons
d'abord comment la définir et voyons ses
caractéristiques.
Les
différentes définitions de la
parabole.
On peut définir une
parabole comme étant l'ensemble des centres des
cercles tangents à une droite directrice D et passant
par un point F, le foyer de la parabole.
Voici une 2ème
façon de définir la parabole :
considérons une droite D et un point F n'appartenant
pas à la droite D. L'ensemble des points
situés à égale distance de F et de
leurs projetés orthogonaux H sur la droite D forme
une parabole. On a ainsi : MF = MH ou alors MF/MH =
1
En outre, la définition
la plus simple et sans doute la plus connue, énonce
que l'ensemble des points M d'une parabole ont leurs
coordonnées (x ; y) qui vérifient
l'équation suivante : y =
x2
Enfin, on peut définir la parabole
comme étant l'une des trois coniques (avec l'hyperbole et
l'ellipse) : ainsi l'intersection d'un cône et d'un plan
parallèle à l'une des génératrice du
cône, est une parabole.
Comment
construire une parabole Il existe
plusieurs méthodes pour construire une parabole. En voici deux
:
La construction point par
point : Connaissant le foyer F et la droite directrice D d'une
parabole, on trace une droite D' parallèle à
D. Puis à l'aide d'un compas dont l'ouverture est
égale à la distance DD', on pique sur le foyer
et on trace un arc de cercle. Le point commun entre l'arc de
cercle et D' appartient à la parabole de foyer F et
de droite directrice D'.
Avec un fil et une
équerre :
On peut faire un tracé en continu au moyen d'un fil
tendu entre le foyer et une équerre contre laquelle
on le maintient appliqué par un crayon en la faisant
glisser le long d'une règle située sur la
droite directrice.
Les
propriétés de la parabole Bien
qu'étant une courbe très simple, les
propriétés de la parabole sont assez nombreuses et
intéressantes. Voyons les principales :
Trajectoire
d'un mobile
Tout corps en mouvement
et perturbé par un champ gravitationnel décrit une
parabole : ainsi, lorsque vous lancez une balle en l'air, la
trajectoire de celle-ci est une parabole. Démontrons pourquoi
:
Pour cela, considérons un mobile M de coordonnées (x ;
y) dans un repère (O ; i ; j). À t0, M
est au centre du repère. Sa vitesse est
représentée par le vecteur V de
coordonnées Vx et Vy. D'après le
schéma, on a :
cos ß = Vx /
V
sin ß = Vy /
V
Vx = Vcos
ß
Vy = Vsin
ß
À partir de là, cherchons comment évoluent les
coordonnées de M au cours du temps :
Vx reste constant
au cours du temps, donc
En revanche, Vy diminue au
cours du temps, à cause de la pesanteur. y s'exprime
alors par la relation :
x = t.Vx
y = t.Vy -
0,5gt2 (où g est
l'accélération de la pesanteur)
x = t.Vcos ß
y = t.Vsin ß -
0,5gt2
Voilà pour le travail préliminaire. Nous pouvons
maintenant commencer... Exprimons t en fonction de x :
x = t.Vcos ß
t = x / (Vcos ß)
Maintenant, remplaçons t par x / (Vcos ß) dans l'autre
équation :
y = t.Vsin ß -0,5gt2
y = (x / Vcos ß).Vsin ß - 0,5g(x / Vcos
ß)2
On arrange tout cela...
y = ((x.Vsin ß) / (Vcos
ß)) - ((0,5gx2) /
(V2cos2ß))
y = x.tan ß - (g / (2V2cos2 ß))
x2
Et enfin,
y = - (g / (2V2cos2ß)) x2 +
(tan ß) x
On a donc obtenu l'équation de la courbe que parcourt le
mobile. Celle-ci est de la forme y = ax2 + bx + c
où a = - (g / (2V2cos2 ß)) ; b =
tan ß et c = 0.
Il s'agit de l'équation de la parabole. On peut donc dire
qu'un mobile lancé en l'air va décrire une parabole
avant de s'écraser par terre. Toutefois, cette
démonstration a des limites dans la mesure où nous
avons négligé les effets produits par les frottements
de l'air.
Propriété
de focalisation
Voici une
autre propriété de la parabole : toute droite
perpendiculaire à la droite directrice d'une
parabole, passe par le foyer de cette parabole après
s'y être réfléchie. Étant
importante, cette propriété mérite
d'être démontrée.
Démonstration
:
Si y = ax2
(a > 0) est l'équation de notre parabole de sommet O, d'axe
(Oy). Notons M(xo ; axo2) le point
d'impact du rayon lumineux (zM). L'équation de la tangente
à la courbe en M est :
y = f'(x0) (x-x0) +
axo2
y = axo2 + 2axo(x -
xo)
y = (2axo)x - axo2
Trouvons l'équation de la normale. Elle est de la forme y = mx
+ p. Or cette droite est perpendiculaire à la tangente,
donc
m = -1 / 2axo
De plus, M appartient à la normale, donc ses
coordonnées vérifient son équation :
axo2 = mxo + p
axo2 = -xo / 2axo + p
p = axo2 + 1 / 2a
On connaît m, on connaît p, l'équation de la
normale est :
y = (-1 / 2axo)x + axo2 + 1 / 2a
T appartient à la tangente et son abscisse est 0. Trouvons son
ordonnée :
yT = (2axo)xT -
axo2 yT = -axo2
L'abscisse de N est également 0, et N appartient
à la normale :
yN = (-1 / 2axo)xN +
axo2 + 1 / 2a
yN = axo2 + 1 / 2a
En regardant le schéma, on s'aperçoit que les angles
zMN et MNF (les
angles seront notés en gras) sont alternes-internes, donc
égaux. De plus, d'après les lois de la
réflexion, zMN = NMF. On a alors MNF =
NMF donc le triangle MNF est isocèle en F et FM =
FN
Toujours d'après le schéma, on a TMF = 90 - i MFT = 180 - MFN MFT = 180 - (180 -2i) = 2i
On en déduit FTM : FTM = 180 - TMF - MFT = 180 - (90 - i) - 2i FTM = 90 - i
Donc FTM = TMF, donc le triangle FTM est isocèle
en F, donc FT = FM
C'est presque fini. On vient de trouver FM = FN et FT = FM.
D'où FN = FT. Comme F appartient à (TN), F est le
milieu de [TN]. On peut alors trouver ses coordonnées
:
xF = (xT
+ xN) / 2
yF = (yT
+ yN) / 2
xF = (0 + 0) /
2
yF =
(-axo2 + axo2 +
1 / 2a) / 2
xF = 0
yF = 1 /
4a
C'est fini ! Interprétons : on vient de voir que les
coordonnées de F ne dépendent pas de xo.
Autrement dit, quelles que soient les coordonnées de M, F
reste immobile. Autrement dit, toute droite perpendiculaire à
la droite directrice d'une parabole, passe par le foyer après
s'y être réfléchie !
Autres
propriétés
En faisant tourner la
parabole autour de son axe, on obtient une surface appelée
paraboloïde qui va posséder la même
propriété de focalisation que la parabole. Notons la
présence d'un troisième axe de coordonnées :
dans l'espace, un point peut être repéré par
trois nombres x, y et z. Comme la parabole, cette surface a une
équation. Celle de la parabole est y = x2 , celle
du paraboloïde est z = x2 + y2
Tout fluide en rotation prend la forme d'un paraboloïde. Cette
propriété peut être utilisée en astronomie
: on anime le mercure d'un mouvement rotatif, comme ce métal
liquide réfléchit bien la lumière, le liquide
joue le rôle d'un miroir parabolique, dont se servent les
télescopes.
Utilisation
des propriétés de la parabole
Les
optiques de phares des voitures
Les voitures
sont munies de phares aux optiques paraboliques afin
d'obtenir un éclairage puissant et unidirectionnel.
Pour cela, il suffit de placer une ampoule au niveau du
foyer des optiques paraboliques qui captent les rayons
lumineux et les réfléchissent tous dans une
même direction. En effet comme tout rayon lumineux
perpendiculaire à la droite directrice d'une
parabole, passe par son foyer après s'être
réfléchi sur la parabole, on peut dire
réciproquement que tout rayon émis du foyer
d'une parabole, repart perpendiculairement à sa
droite directrice après s'être
réfléchi.
Phare de
voiture
Dans
les télécommunications
Lorsqu'une
antenne parabolique est orientée vers un satellite
géostationnaire, les ondes émises par celui-ci
arrivent parallèlement à son axe et sont donc,
par réflexion, concentrées vers un même
point, le foyer, où se trouve un capteur qui va
pouvoir les traiter.
Dans
les télescopes
Dans le domaine de
l'astronomie, les propriétés de la parabole sont
très utiles. En effet, les télescopes sont tous munis
d'un miroir parabolique. La raison en est simple : de la Terre, nous
ne recevons que très peu de lumière des étoiles
lointaines. Ainsi, il faut recueillir le plus de lumière
possible, puis la concentrer pour pouvoir l'étudier.
Naturellement, plus le miroir parabolique d'un télescope est
grand, plus on peut recueillir et concentrer de lumière, et
plus on y voit loin... C'est pourquoi aujourd'hui les plus grands
télescope du monde possèdent des miroirs paraboliques
de plusieurs mètres de diamètre.
